Teorema Pythagoras
Sejarah
Teorema Pythagoras
Dalam matematika, teorema pythagoras adalah suatu
keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku.
Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6
SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun
fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam
Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa, dan Babilonia jauh
sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama
membuktikan kebenaran universal dalam teorema ini melalui pembuktian matematis.
Pythagoras (570
SM – 495 SM), bahasa Yunani: (Πυθαγόρας) adalah seorang matematikawan dan
filsuf Yunani yang paling dikenal melalui teoremanya. Dikenal sebagai
"Bapak Bilangan", dia memberikan sumbangan yang penting terhadap
filsafat dan ajaran keagamaan pada akhir abad ke-6 SM. Kehidupan dan ajarannya
tidak begitu jelas akibat banyaknya legenda dan kisah-kisah buatan mengenai
dirinya. Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras,
yang menyatakan bahwa kuadrat hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku adalah
sama dengan jumlah kuadrat dari kaki-kakinya (sisi-sisi siku-sikunya).
Rumus Pythagoras
Rumus Pythagoras adalah
rumus yang digunakan untuk mencari panjang sisi pada sebuah segitiga siku-siku.
Penemu rumus ini adalah seorang ahli matematika dari Yunani yang bernama
Pythagoras.
Perhatikan gambar berikut:

Sisi AB disebut juga dengan sisi c ,sebab berhadapan dengan sudut C.Sisi BC disebut juga dengan sisi a ,sebab berhadapan dengan sudut A.Sisi AC disebut juga dengan sisi b ,sebab berhadapan dengan sudut B.
Rumus untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah sebagai berikut :
Kuadrat sisi AB = kuadrat sisi AC + kuadrat sisi BC. atau AB2 = AC2 + BC2
Rumus untuk mencari panjang sisi alas yaitu:a2 = c 2 - b 2
Rumus untuk mencari sisi samping yaitu:b2 = c 2 - a 2
Perhatikan gambar berikut:
Sisi AB disebut juga dengan sisi c ,sebab berhadapan dengan sudut C.Sisi BC disebut juga dengan sisi a ,sebab berhadapan dengan sudut A.Sisi AC disebut juga dengan sisi b ,sebab berhadapan dengan sudut B.
Rumus untuk mencari panjang sisi segitiga siku-siku dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah sebagai berikut :
Kuadrat sisi AB = kuadrat sisi AC + kuadrat sisi BC. atau AB2 = AC2 + BC2
Rumus untuk mencari panjang sisi alas yaitu:a2 = c 2 - b 2
Rumus untuk mencari sisi samping yaitu:b2 = c 2 - a 2
Contoh soal
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:
Tentukan panjang sisi miring segitiga!
Pembahasan
AB = 6 cm
BC = 8 cm
AC = ......
Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema pythagoras:
Soal No. 2
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:
Tentukan panjang sisi alas segitiga!
Pembahasan
PR = 26 cm
PQ = 10 cm
QR = ......
Menentukan salah satu sisi segitiga yang bukan sisi miring:
Soal No. 3
Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm.
Tentukan luas segitiga tersebut!
Pembahasan
Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:
Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:
Soal No. 4
Perhatikan gambar segitiga berikut!
Tentukan panjang sisi AB!
Pembahasan
Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai berikut:
Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:
Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan
dengan sudut-sudut 30o dan 60o
Soal No. 5
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!
Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
Pembahasan
Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:
Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:

Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!
Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
Pembahasan
Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:
Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:
Soal No. 6
Perhatikan gambar!
Panjang AD adalah....
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
(Dari Soal UN Matematika SMP - 2011 Teorema Pythagoras)
Pembahasan
Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing segitiga.

Perhatikan gambar!
Panjang AD adalah....
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
(Dari Soal UN Matematika SMP - 2011 Teorema Pythagoras)
Pembahasan
Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing segitiga.
Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang AB = BC = 8 cm dan CD = AD = 6 cm. Panjang AC =.....
A. 4,8 cm
B. 9,6 cm
C. 10 cm
D. 14 cm
Pembahasan
Perhatikan segitiga ABD, yang siku-siku di A. Ingat bab sudut keliling lingkaran, kenapa sudut A adalah 90°.
Dengan pythagoras akan ditemukan panjang BD = 10 cm. Terlihat segitiga ABD dengan alas BD = 10 cm dan tinggi t yang belum diketahui. Putar sedikit segitiga ABD hingga seperti gambar dibawah.
Setelah diputar, DA = 6 cm menjadi alas dan AB = 8 cm menjadi tingginya. Dengan prinsip bahwa luas satu segitiga itu sama meskipun mengambil alas dan tinggi yang berbeda, diperoleh nilai tinggi sebelum segitiga diputar.
Jadi panjang AC adalah 9,6 cm.
Soal No. 8
Perhatikan limas TABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm, dan panjang TP = 15 cm.
Volume limas adalah...
A. 4.860 cm3
B. 3.888 cm3
C. 1.620 cm3
D. 1.296 cm3
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras pada penentuan volume sebuah limas. Volume limas adalah sepertiga kali luas alas kali tingginya.
Panjang salah satu sisi alas karena bentuknya persegi adalah
s = keliling / 4
s = 72 / 4 = 18 cm
Dengan pythagoras tingginya dapat ditentukan, kemudian masukkan ke volume limas.
Soal No. 9
Perhatikan gambar trapesium ABCD berikut ini!
AD = 13 cm, dan AE = 10 cm. Panjang CH = panjang HI.
AB = 64 cm dan ΔEAK, ΔFKL, ΔGLM dan ΔHMB samakaki.
Tentukan luas daerah yang diarsir!
Soal No. 10
Diketahui keliling belahketupat 52 cm dan salah satu diagonalnya 24 cm. Luas belahketupat ABCD adalah....
A. 312 cm2
B. 274 cm2
C. 240 cm2
D. 120 cm2
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras dalam menentukan luas bangun datar. Belahketupat kelilingnya 52
Panjang sisi belahketupat AB = BC = CD = DA = 52 : 4 = 13 cm
Jika AC = 24, maka panjang AE = 12 cm. Gunakan pythagoras untuk mendapatkan panjang BE, diperoleh BE = 5 cm, sehingga diagonal BD = 10 cm
Luas belah ketupat = (AC x BD) / 2 = (24 x 10) / 2 = 120 cm2
Perhatikan gambar berikut!
Panjang AB = BC = 8 cm dan CD = AD = 6 cm. Panjang AC =.....
A. 4,8 cm
B. 9,6 cm
C. 10 cm
D. 14 cm
Pembahasan
Perhatikan segitiga ABD, yang siku-siku di A. Ingat bab sudut keliling lingkaran, kenapa sudut A adalah 90°.
Dengan pythagoras akan ditemukan panjang BD = 10 cm. Terlihat segitiga ABD dengan alas BD = 10 cm dan tinggi t yang belum diketahui. Putar sedikit segitiga ABD hingga seperti gambar dibawah.
Setelah diputar, DA = 6 cm menjadi alas dan AB = 8 cm menjadi tingginya. Dengan prinsip bahwa luas satu segitiga itu sama meskipun mengambil alas dan tinggi yang berbeda, diperoleh nilai tinggi sebelum segitiga diputar.
Jadi panjang AC adalah 9,6 cm.
Soal No. 8
Perhatikan limas TABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm, dan panjang TP = 15 cm.
Volume limas adalah...
A. 4.860 cm3
B. 3.888 cm3
C. 1.620 cm3
D. 1.296 cm3
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras pada penentuan volume sebuah limas. Volume limas adalah sepertiga kali luas alas kali tingginya.
Panjang salah satu sisi alas karena bentuknya persegi adalah
s = keliling / 4
s = 72 / 4 = 18 cm
Dengan pythagoras tingginya dapat ditentukan, kemudian masukkan ke volume limas.
Soal No. 9
Perhatikan gambar trapesium ABCD berikut ini!
AD = 13 cm, dan AE = 10 cm. Panjang CH = panjang HI.
AB = 64 cm dan ΔEAK, ΔFKL, ΔGLM dan ΔHMB samakaki.
Tentukan luas daerah yang diarsir!
Soal No. 10
Diketahui keliling belahketupat 52 cm dan salah satu diagonalnya 24 cm. Luas belahketupat ABCD adalah....
A. 312 cm2
B. 274 cm2
C. 240 cm2
D. 120 cm2
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras dalam menentukan luas bangun datar. Belahketupat kelilingnya 52
Panjang sisi belahketupat AB = BC = CD = DA = 52 : 4 = 13 cm
Jika AC = 24, maka panjang AE = 12 cm. Gunakan pythagoras untuk mendapatkan panjang BE, diperoleh BE = 5 cm, sehingga diagonal BD = 10 cm
Luas belah ketupat = (AC x BD) / 2 = (24 x 10) / 2 = 120 cm2
Soal No. 11
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga :
I. 3 cm, 4 cm, 5 cm
II. 7 cm, 8 cm, 9 cm
III. 5 cm, 12 cm, 15 cm
IV. 7 cm, 24 cm, 25 cm
Yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah....
A. I dan II
B. I dan III
C. II dan III
D. I dan IV
Pembahasan
Angka-angka yang memenuhi pythagoras / tripel pythagoras / tigaan pythagoras diantaranya:
3, 4, 5 dan kelipatannya seperti (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) dan seterusnya.
5, 12, 13 dan kelipatannya.
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11 ,60, 61 dan kelipatannya
12, 35, 37 dan kelipatannya
13, 84, 85 dan kelipatannya
15, 112, 113 dan kelipatannya
16, 63, 65 dan kelipatannya
17, 144, 145 dan kelipatannya
19, 180, 181 dan kelipatannya
20, 21, 29 dan kelipatannya
20, 99, 101 dan kelipatannya
dan seterusnya masih banyak lagi.
Jawab: D. I dan IV.
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga :
I. 3 cm, 4 cm, 5 cm
II. 7 cm, 8 cm, 9 cm
III. 5 cm, 12 cm, 15 cm
IV. 7 cm, 24 cm, 25 cm
Yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah....
A. I dan II
B. I dan III
C. II dan III
D. I dan IV
Pembahasan
Angka-angka yang memenuhi pythagoras / tripel pythagoras / tigaan pythagoras diantaranya:
3, 4, 5 dan kelipatannya seperti (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) dan seterusnya.
5, 12, 13 dan kelipatannya.
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11 ,60, 61 dan kelipatannya
12, 35, 37 dan kelipatannya
13, 84, 85 dan kelipatannya
15, 112, 113 dan kelipatannya
16, 63, 65 dan kelipatannya
17, 144, 145 dan kelipatannya
19, 180, 181 dan kelipatannya
20, 21, 29 dan kelipatannya
20, 99, 101 dan kelipatannya
dan seterusnya masih banyak lagi.
Jawab: D. I dan IV.
Soal No. 12
Diberikan sebuah segitiga siku-siku samakaki seperti gambar!
Diberikan sebuah segitiga siku-siku samakaki seperti gambar!
Jika panjang sisi miring segitiga adalah 80, tentukan panjang x.
Pembahasan
Teorema pythagoras untuk segitiga di atas:
Pembahasan
Teorema pythagoras untuk segitiga di atas:
Pembuktian
Teorema Pythagoras
Alat dan Bahan :
1. Kertas
2. Pensil & Penghapus
3. Penggaris
Langkah-langkah membuktikan Teorema
Pythagoras :
1.
Gambarlah 2 buah segitiga siku-siku yang ukurannya
sama, seperti berikut :
2.
Kemudian putar salah satu segitiga hingga 90o
searah jarum jam maka akan kita peroleh segitiga berikut (gambar putus-putus).
Jika segitiga yang putus-putus ini kita geser maka kita peroleh sebagai berikut
:
3.
Bentuk di atas bisa kita anggap sebagai trapesium.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut :
Maka kita tahu bahwa luas trapesium tersebut sama dengan jumlah luas tiga
buah segitiga
L = 2L1 + L2
L = 2L1 + L2
½ (a + b)(a+ b) = 2. ½ ab + ½ c2
(a + b)2 = 2ab + c2
(a + b)2 = 2ab + c2
a2 + 2ab + b2
= 2ab + c2
a2 + b2 = c2